下采样如何提高分辨率？
Written by Heyang Long
Updated at April 7th, 2025
本说明从统计角度解释了如何在时域中增强高带宽前端的信号分辨率。还将使用低通滤波器来说明分辨率的提高。
具有 1 mV 分辨率的 ADC 能区分 1 µV 信号吗？对于单个样本，答案是否定的 — 弱信号的信息会丢失。但如果信号有噪声且由一段时间内的一系列样本组成，该怎么办？
考虑一个简单的例子：一个分辨率为 0.5 的量化器和一个幅度为 0.2 的模拟信号。由于信号幅度小于量化器的分辨率，因此量化输出应为 0。这在理想的无噪声系统中是正确的。但是，所有 ADC 都会引入电子和热噪声。在这种情况下，量化器看到的信号并不完全是 0.2；而是 0.2 加上噪声。例如，如果噪声水平为 0.1，则组合信号（0.2 + 噪声）可能超过量化器分辨率的一半，从而导致输出为 0.5。
在附图中，蓝线表示具有固定平均值的噪声信号，橙色点表示具有 0.5 分辨率步长的量化器的输出。在上图中，平均值为 0.2；在下图中，平均值为 -0.2。如图所示，量化器输出并非始终保持在 0；相反，它会因输入噪声而波动。这种波动表明信号的精细细节并未完全丢失，通过统计分析时间序列，即使量化步长较大，我们也可以解析较小的信号分量。
在这种情况下，量化器输出的分布如下图所示。蓝色和橙色分布之间的区别清晰可见，它们的平均值反映了输入信号的真实值。
可以通过低通滤波提取平均值，因为这可以有效去除量化器引入的量化噪声。通常，如果信号包含标准偏差超过量化步长的三分之一 (1/3) 的随机高斯噪声，则噪声将极大地随机化量化过程。因此，量化噪声在频域中将类似于白噪声，可以使用低通滤波器去除。
在附图中，橙色轨迹显示量化信号的功率谱密度 (PSD)，而蓝色轨迹表示模拟噪声输入（非量化）。由于量化噪声，橙色线的噪声水平高于蓝线。对量化信号和原始信号进行低通滤波后，我们分别得到紫色和黄色线。低通滤波器不仅可以降低输入噪声，还可以有效消除量化噪声。
在这里，我们可以将低通滤波后的信号与原始信号进行比较。很明显，量化噪声显著降低，与未滤波版本相比，可以更准确地恢复原始信号。这一改进是由于量化器引入的量化噪声大幅减少。
本文表明，通过从时域和频域角度对量化数据进行平均，仍可以恢复幅度小于量化分辨率的信号。换句话说，通过对数字化信号进行低通滤波可以提高 ADC 的有效分辨率，因为量化噪声预计会均匀分布在频谱上。